等速直線運動のグラフ！公式もわかりやすく解説！

『等速直線運動(とうそくちょくせんうんどう)』は、「物体がずーっと一定の速度で直線上を進む運動」でしたね。

そして、問題を解くコツは、図を描いて運動のイメージをつかむこと、でした。
(詳しくはこちら)

今回は、「等速直線運動をグラフで理解する」段階に進みましょう！

「えー！グラフって難しいし、読み取り方もよく分からない・・・」
はじめは誰でもそう思いますよね。

でも、グラフが本当に難しいものなら、なぜ世界中の人々が今日もグラフを使っているのでしょうね？
それは、とても便利で、実は難しくないからなんですよ。

等速直線運動では、『x–tグラフ』と『v–tグラフ』という2種類のグラフを使っていきましょう。

等速直線運動のグラフと公式

等速直線運動に必ず出てくるのが、位置x・時刻t・速度v(速度を表す”velocity”の頭文字)ですよね。

この3つをまとめて1つのグラフにすることはできないので、

• 縦軸が位置x、横軸が時刻tのx–tグラフ
• 縦軸が速度v、横軸が時刻tのv–tグラフ

という2種類のグラフを使っていきます。

x–tグラフは位置の時間変化、v–tグラフは速度の時間変化を表すグラフですね。
このグラフから、等速直線運動を表す公式も導き出せますよ。

では、それぞれのグラフについて、詳しく見ていきましょう。

等速直線運動のx–tグラフと公式

速度v>0の場合

例えば、x軸上正の向きに対して物体Aは速度2.0 m/s(メートル毎秒)で、物体Bは速度1.0 m/sで等速直線運動しているとしますよ。
時刻t＝0 sでの位置x₀はどちらも0 mです。

図1　物体Aと物体Bの等速直線運動(v＞0、x₀＝0 m)

物体Aは1秒あたり2.0 m進み、物体Bは1秒あたり1.0 m進みますね。
2秒経つと物体Aは4.0m、物体Bは2.0 m進んでいきます。

つまり、時刻tと位置xは比例関係になっているわけですね！

ですから、物体Aと物体Bのx–tグラフは図2のようになります。
右上がりの直線のグラフですね。

図2　物体Aと物体Bのx–tグラフ(v＞0、x₀＝0 m)

x–tグラフの傾き＝\(\frac{縦軸の変化量}{横軸の変化量}\)＝\(\frac{変位}{時間}\)＝\(\frac{\Delta x}{\Delta t}\)＝速度v
になっていますね！
(Δ(デルタ)は変化量を表すギリシャ文字)

傾きが急になっているほど、速度が速いわけです。
位置xと時刻tのグラフから速度vも分かるなんて、グラフって便利ですね！

また、x–tグラフが原点0を通る場合(t＝0 sで位置x＝0 m)は、原点0からの変位Δx＝位置xに、原点0からの時間Δt＝時刻tになりますよ。

つまり、速度v＝(変位Δx)÷(時間Δt)から、位置x＝速度v×時刻tの関係にあることが分かりますね。
これは、図2のx–tグラフからも読み取れる関係ですね。

次は、時刻t＝0 sでの位置x₀が0 mではない場合を考えてみましょう！

t＝0 sでの位置x₀＝0.5 mだとすると、物体Aと物体Bの位置の時間変化は図3のようになります。
図1の位置に0.5 mを足すわけですね。

図3　物体Aと物体Bの等速直線運動(v＞0、x₀＝0.5 m)

ですから、物体Aと物体Bのx–tグラフは図4のようになりますよ。
図2のx–tグラフの位置xをx₀＝0.5 mだけ上にずらしていますね。

図4　物体Aと物体Bのx–tグラフ(v＞0、x₀＝0.5 m)

つまり、x–tグラフが時刻t＝0で位置x＝x₀を通るとき、位置x＝x₀＋(速度v×時刻t)の関係にあるわけです！

ここまで見てきたように、速度v＞0の場合のx–tグラフは右上がりの直線でしたね。
速度v＜0の場合は、どうなるのでしょうか？

速度v<0の場合

x軸上正の向きに対して、物体Aは速度－2.0 m/sで、物体Bは速度－1.0 m/sで等速直線運動しているとしますよ。
速度が負の値ですから、x軸上負の向きに進んでいますね。

時刻t＝0 sでの位置x₀はどちらも0 mなら、図5のようになります。

図5　物体Aと物体Bの等速直線運動(v＜0、x₀＝0 m)

物体Aと物体Bのx–tグラフを描くと、図6のようになりますね。
v＜0なので、グラフは右下がりの直線なんです。

こちらも、x–tグラフが原点0を通るとき、位置x＝速度v×時刻tの関係にあることが分かりますね。

図6　物体Aと物体Bのx–tグラフ(v＜0、x₀＝0 m)

次に、時刻t＝0 sでの位置x₀が0 mではない場合を考えてみましょう！

t＝0 sでx₀＝0.5 mなら、物体Aと物体Bの位置の時間変化は図7のようになりますね。
図5の位置に0.5 mを足すわけです。

図7　物体Aと物体Bの等速直線運動(v＜0、x₀＝0.5 m)

ですから、物体Aと物体Bのx–tグラフは図8のようになりますよ。
図6のx–tグラフをx₀＝0.5 mだけ上にずらしていますね。

図8　物体Aと物体Bのx–tグラフ(v＜0、x₀＝0.5 m)

つまり、x–tグラフが時刻t＝0で位置x＝x₀を通るとき、位置x＝x₀＋(速度v×時刻t)の関係にあるわけです。

では、等速直線運動のx–tグラフと導き出された公式をまとめておきましょう。

図9　等速直線運動のx–tグラフと公式(位置x、時刻t、速度v)

等速直線運動のx–tグラフについて理解できましたか？
続いて、もうひとつのグラフであるv–tグラフについて解説しますね。

等速直線運動のv–tグラフ

縦軸に速度v、横軸に時刻tをとったv–tグラフは、速度の時間変化を表すグラフですよ。
ただし、等速直線運動の速度は一定なので、シンプルなグラフになります。

図10　等速直線運動のv–tグラフとx₀からの変位Δxとの関係　

さて、v–tグラフから、ひとつ面白いことが分かりますよ。
v–tグラフと横軸で囲まれた面積＝速度v×時刻tですよね。

等速直線運動の位置xは、x＝x₀＋vtですから、vt＝x－x₀となります。
x－x₀＝Δxは、時刻tにおける位置xのx₀からの変位ですね。

なので、
v–tグラフと横軸で囲まれた面積＝速度v×時刻t＝x－x₀＝x₀からの変位Δx
になるんです。

変位が分かれば、x軸上の位置も分かりますね。
v–tグラフから位置も分かるなんて、やっぱりグラフは便利です！

こうして見ると、はじめに公式があるわけではないのですね。
実験データからグラフを描き、グラフから読み取れる運動の特徴が、式として表されるわけです。
x–tグラフとv–tグラフを描けば、運動の色々な情報が分かるんですね！

ここまで学んだら、等速直線運動のイメージもできて問題も解いていけますよ。

では、一緒に例題を解いてみましょう！
公式だけ使う解き方と、グラフを描く解き方の二通りで解いてみますね。

例題で理解！

x–tグラフは直線で傾きが一定ですから、この物体は等速直線運動をしていますね。
グラフが右上がりですから、速度が正の向きに進んでいることも分かります。

問題文やグラフに出てくる数値は有効数字2桁なので、答えも有効数字2桁ですよ。

(1)物体の速度を求めよ。

グラフの傾きが速度を表しますから、

速度＝\(\frac{縦軸の変化量}{横軸の変化量}\)＝\(\frac{5.0 m－1.0 m}{2.0 s－0 s}\)＝2.0 m/s

速度は2.0 m/sですね。

(2)時刻t＝9.0における物体の位置xを求めよ。

＜公式を使う＞

t＝0 sにおける位置x₀が0 mではないので、公式はx＝x₀＋vtを使いますよ。

x₀＝1.0 m、v＝2.0 m/s、t＝3.0 sを公式に代入すると、位置xは、
x＝x₀＋vt＝1.0 m＋(2.0 m/s)×3.0 s＝7.0 m

ですから、t＝9.0 sにおける位置は7.0 mですね。

＜グラフを使う＞

x–tグラフをt＝3.0 sまでざっくりと描いてみましょう。

図12　物体のx–tグラフ

このグラフから、

t＝3.0 sでの位置x＝5.0 m＋(t＝2.0 sからt＝3.0 sまでの変位Δx)

であることが分かりますね。

速度v＝(変位Δx)÷(時間Δt)の関係から、Δx＝v×Δtなので、
Δx＝(2.0 m/s)×(3.0 s－2.0 s)＝2.0 m
x＝5.0 m＋2.0 m＝7.0 m

t＝3.0 sにおける位置は7.0 mですね。

速度が－2.5 m/sの1種類なので、等速直線運動ですね。
速度が負の値なので、物体はx軸負の向きに進んでいることも分かります。
位置xの単位は[m]で有効数字2桁で答えることにも注意ですよ。

＜公式を使う＞

t＝0 sにおける位置x₀が0 mではないので、公式はx＝x₀＋vtを使いますよ。

x₀＝20 m、v＝－2.5 m/s、t＝5.0 sを公式に代入すると、位置xは、
x＝x₀＋vt＝20 m＋(－2.5 m/s)×5.0 s＝7.5 m

ですから、t＝5.0 sにおける位置は7.5 mですね。

＜グラフを使う＞

x–tグラフをざっくりと描いてみましょう。
速度が－2.5 m/sと負の値なので、グラフの傾きは－2.5の右下がりの直線になりますね。
t＝0 sでの位置x₀は20 mであることも分かっています。

x–tグラフはこんな感じになりますよ。
必要だ！と思った情報は、グラフの中に書きこんじゃってくださいね。

図13　例題2の物体のx–tグラフ

このグラフから、t＝0 sからt＝5.0 sまでの変位Δx＝x－x₀であることが見えましたね。
つまり、Δxが分かれば、t＝5.0 sでの位置xが求められるわけです。

速度v＝(変位Δx)÷(時間Δt)の関係から、Δx＝v×Δtなので、
Δx＝(－2.5 m/s)×(5.0 s－0 s)＝－12.5 m
x＝x₀＋Δx＝20 m＋(－12.5 m)＝7.5 m

t＝5.0 sにおける位置は7.5 mですね。

グラフを描くと、運動の全体像がよく見えますよ。
一手間かかって面倒だなあ、と思いがちですが、やってみてくださいね。

「公式が出てきたから、丸暗記して使って解かなくちゃ」
と思うことはないんですよ。

公式も大事だけどグラフも描こう！

今の時点では、公式を丸暗記すると問題はサクッと解けます。
でも、これからもたーくさん公式が出てきますよね。
山のようにある公式をぜーんぶ覚えますか？

公式の丸暗記⇒多すぎて頭がごちゃ混ぜになる⇒問題が解けない
これが、悲しき「物理キライ！の法則」なんです・・・。

じゃあ、物理が得意な人、好きな人って何を考えていると思いますか？
え？ただの変人なんでしょーって？
そんなことないですよー。

例えば、私は公式を丸暗記したことがほとんどありません。
やみくもに式や単語を暗記するのは、苦手なんですよ。
でも、問題文のデータや式からグラフを描いて読み取り、運動のイメージを理解すれば、問題はバンバン解けます。

物理は実際の現象を解き明かす学問でしたね。
なので、物理で大切なのは、計算よりもグラフや式で表された運動をイメージできることです。
データからグラフが描けること、そのグラフが読めることは重要なスキルになりますよ。
そこから、数学の力を借りて、そこに隠れた法則を表す公式を導き出すわけです。

等速直線運動の公式だって、グラフから導かれていますよね。
こういうシンプルな運動の問題から、グラフを描いて考えるクセをつけておきましょうよ。

とにかく描いて慣れる！
そうすれば、難しい問題も楽に解けますし、考えることの面白さが分かってきますよ。

本質的なことほど、遠回りに見えたり慣れるまで面倒くさいものですね。
しかーし！本質が分かれば応用は無限ですよー！

それでは、チェックテストで理解を深めましょう！

等速直線運動のグラフ理解度チェックテスト

【問1】
下のグラフは、x軸上を運動する物体の位置x [m]と時刻t [s]の関係を表したものである。
(1)物体の速度は何m/sか。
(2)縦軸を速度v [m/s]、横軸を時刻t [s]として、0 s≦t≦5.0 sのv–tグラフを描け。
(3)0 s≦t≦5.0 sに物体が移動した距離を、(2)で描いたv–tグラフから求めよ。

まとめ

今回は、等速直線運動のグラフと公式についてお話しました。

等速直線運動のx–tグラフは、

• 速度v＞0の場合は右上がりの直線、速度v＜0の場合は右下がりの直線になる
• x＝x₀＋vt(原点を通る場合はx₀＝0)で表される

等速直線運動のv–tグラフは、

• v＝一定なので、横軸に平行な直線になる
• v–tグラフと横軸で囲まれた面積＝v×t＝x₀からの変位

問題を解くポイントは、

• x–tグラフやv–tグラフから運動のイメージを理解する

「やっぱりグラフは難しいな」「グラフは意外と便利だな」
人によって色々な感想があるんじゃないでしょうか。

問題が複雑になるほど、グラフのありがたみが分かってきますよ。
今のうちに、慣れておきましょうね。

次回は、速度の合成についてお話しますね。
こちらへどうぞ。