等速直線運動のグラフ!公式もわかりやすく解説!

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等速直線運動(とうそくちょくせんうんどう)』は、「物体がずーっと一定の速度で直線上を進む運動」でしたね。

 

そして、問題を解くコツは、図を描いて運動のイメージをつかむこと、でした。
(詳しくはこちら)

 

今回は、「等速直線運動をグラフで理解する」段階に進みましょう!

 

「えー!グラフって難しいし、読み取り方もよく分からない・・・」
はじめは誰でもそう思いますよね。

 

でも、グラフが本当に難しいものなら、なぜ世界中の人々が今日もグラフを使っているのでしょうね?
それは、とても便利で、実は難しくないからなんですよ。

 

等速直線運動では、『xtグラフ』と『vtグラフ』という2種類のグラフを使っていきましょう。

 

等速直線運動のグラフと公式

等速直線運動に必ず出てくるのが、位置x・時刻t・速度v(速度を表す”velocity”の頭文字)ですよね。

 

この3つをまとめて1つのグラフにすることはできないので、

 

  • 縦軸が位置x、横軸が時刻txtグラフ
  • 縦軸が速度v、横軸が時刻tvtグラフ

 

という2種類のグラフを使っていきます。

 

xtグラフは位置の時間変化、vtグラフは速度の時間変化を表すグラフですね。
このグラフから、等速直線運動を表す公式も導き出せますよ。

 

では、それぞれのグラフについて、詳しく見ていきましょう。

 

等速直線運動のxtグラフと公式

速度v>0の場合

例えば、x軸上正の向きに対して物体Aは速度2.0 m/s(メートル毎秒)で、物体Bは速度1.0 m/sで等速直線運動しているとしますよ。
時刻t=0 sでの位置x0はどちらも0 mです。

 

図1 物体Aと物体Bの等速直線運動(v>0、x0=0 m)

 

物体Aは1秒あたり2.0 m進み、物体Bは1秒あたり1.0 m進みますね。
2秒経つと物体Aは4.0m、物体Bは2.0 m進んでいきます。

 

つまり、時刻tと位置xは比例関係になっているわけですね!

 

ですから、物体Aと物体Bのxtグラフは図2のようになります。
右上がりの直線のグラフですね。

 

図2 物体Aと物体Bのxtグラフ(v>0、x0=0 m)

 

xtグラフの傾き=\(\frac{縦軸の変化量}{横軸の変化量}\)=\(\frac{変位}{時間}\)=\(\frac{\Delta x}{\Delta t}\)=速度v
になっていますね!
(Δ(デルタ)は変化量を表すギリシャ文字)

 

傾きが急になっているほど、速度が速いわけです。
位置xと時刻tのグラフから速度vも分かるなんて、グラフって便利ですね!

 

また、xtグラフが原点0を通る場合(t=0 sで位置x=0 m)は、原点0からの変位Δx=位置xに、原点0からの時間Δt=時刻tになりますよ。

 

つまり、速度v=(変位Δx)÷(時間Δt)から、位置x=速度v×時刻tの関係にあることが分かりますね。
これは、図2のxtグラフからも読み取れる関係ですね。

 

次は、時刻t=0 sでの位置x0が0 mではない場合を考えてみましょう!

 

t=0 sでの位置x0=0.5 mだとすると、物体Aと物体Bの位置の時間変化は図3のようになります。
図1の位置に0.5 mを足すわけですね。

 

図3 物体Aと物体Bの等速直線運動(v>0、x0=0.5 m)

 

ですから、物体Aと物体Bのxtグラフは図4のようになりますよ。
図2のxtグラフの位置xx0=0.5 mだけ上にずらしていますね。

 

図4 物体Aと物体Bのxtグラフ(v>0、x0=0.5 m)

 

つまり、xtグラフが時刻t=0で位置xx0を通るとき、位置xx0+(速度v×時刻t)の関係にあるわけです!

 

ここまで見てきたように、速度v>0の場合のxtグラフは右上がりの直線でしたね。
速度v<0の場合は、どうなるのでしょうか?

 

速度v<0の場合

x軸上正の向きに対して、物体Aは速度-2.0 m/sで、物体Bは速度-1.0 m/sで等速直線運動しているとしますよ。
速度が負の値ですから、x軸上負の向きに進んでいますね。

 

時刻t=0 sでの位置x0はどちらも0 mなら、図5のようになります。

 

図5 物体Aと物体Bの等速直線運動(v<0、x0=0 m)

 

物体Aと物体Bのxtグラフを描くと、図6のようになりますね。
v<0なので、グラフは右下がりの直線なんです。

 

こちらも、xtグラフが原点0を通るとき、位置x=速度v×時刻tの関係にあることが分かりますね。

 

図6 物体Aと物体Bのxtグラフ(v<0、x0=0 m)

 

次に、時刻t=0 sでの位置x0が0 mではない場合を考えてみましょう!

 

t=0 sでx0=0.5 mなら、物体Aと物体Bの位置の時間変化は図7のようになりますね。
図5の位置に0.5 mを足すわけです。

 

図7 物体Aと物体Bの等速直線運動(v<0、x0=0.5 m)

 

ですから、物体Aと物体Bのxtグラフは図8のようになりますよ。
図6のxtグラフをx0=0.5 mだけ上にずらしていますね。

 

図8 物体Aと物体Bのxtグラフ(v<0、x0=0.5 m)

 

つまり、xtグラフが時刻t=0で位置xx0を通るとき、位置xx0+(速度v×時刻t)の関係にあるわけです。

 

では、等速直線運動のxtグラフと導き出された公式をまとめておきましょう。

 

図9 等速直線運動のxtグラフと公式(位置x、時刻t、速度v)

 

等速直線運動のxtグラフについて理解できましたか?
続いて、もうひとつのグラフであるvtグラフについて解説しますね。

 

等速直線運動のvtグラフ

縦軸に速度v、横軸に時刻tをとったvtグラフは、速度の時間変化を表すグラフですよ。
ただし、等速直線運動の速度は一定なので、シンプルなグラフになります。

 

図10 等速直線運動のvtグラフとx0からの変位Δxとの関係 

 

さて、vtグラフから、ひとつ面白いことが分かりますよ。
vtグラフと横軸で囲まれた面積=速度v×時刻tですよね。

 

等速直線運動の位置xは、xx0vtですから、vtxx0となります。
xx0Δxは、時刻tにおける位置xx0からの変位ですね。

 

なので、
vtグラフと横軸で囲まれた面積=速度v×時刻txx0x0からの変位Δx
になるんです。

 

変位が分かれば、x軸上の位置も分かりますね。
vtグラフから位置も分かるなんて、やっぱりグラフは便利です!

 

こうして見ると、はじめに公式があるわけではないのですね。
実験データからグラフを描き、グラフから読み取れる運動の特徴が、式として表されるわけです。
x
tグラフとvtグラフを描けば、運動の色々な情報が分かるんですね!

 

ここまで学んだら、等速直線運動のイメージもできて問題も解いていけますよ。

 

では、一緒に例題を解いてみましょう!
公式だけ使う解き方と、グラフを描く解き方の二通りで解いてみますね。

 

例題で理解!

例題1
x軸上を運動する物体の位置x [m]と時刻t [s]の関係をグラフに表した。
(1)物体の速度を求めよ。
(2)物体が同じ速度で運動しつづけたとき、時刻t=3.0 sにおける物体の位置xを求めよ。 

 

図11 物体のxtグラフ

 

xtグラフは直線で傾きが一定ですから、この物体は等速直線運動をしていますね。
グラフが右上がりですから、速度が正の向きに進んでいることも分かります。

 

問題文やグラフに出てくる数値は有効数字2桁なので、答えも有効数字2桁ですよ。

 

(1)物体の速度を求めよ。

グラフの傾きが速度を表しますから、

速度=\(\frac{縦軸の変化量}{横軸の変化量}\)=\(\frac{5.0 m-1.0 m}{2.0 s-0 s}\)=2.0 m/s

速度は2.0 m/sですね。

 

(2)時刻t=9.0における物体の位置xを求めよ。

<公式を使う>

t=0 sにおける位置x0が0 mではないので、公式はxx0vtを使いますよ。

x0=1.0 m、v=2.0 m/s、t=3.0 sを公式に代入すると、位置xは、
xx0vt=1.0 m+(2.0 m/s)×3.0 s=7.0 m

ですから、t=9.0 sにおける位置は7.0 mですね。

 

<グラフを使う>

xtグラフをt=3.0 sまでざっくりと描いてみましょう。

 

図12 物体のxtグラフ

 

このグラフから、

t=3.0 sでの位置x=5.0 m+(t=2.0 sからt=3.0 sまでの変位Δx)

であることが分かりますね。

 

速度v=(変位Δx)÷(時間Δt)の関係から、Δxv×Δtなので、
Δx=(2.0 m/s)×(3.0 s-2.0 s)=2.0 m
x=5.0 m+2.0 m=7.0 m

t=3.0 sにおける位置は7.0 mですね。

 

例題2
x軸上を速度-2.5 m/sで運動する物体がある。
時刻t=0 sにおける位置x0が20 mであるとき、時刻t=5.0 sにおける位置xを求めよ。

 

速度が-2.5 m/sの1種類なので、等速直線運動ですね。
速度が負の値なので、物体はx軸負の向きに進んでいることも分かります。
位置xの単位は[m]で有効数字2桁で答えることにも注意ですよ。

 

<公式を使う>

t=0 sにおける位置x0が0 mではないので、公式はxx0vtを使いますよ。

 

x0=20 m、v=-2.5 m/s、t=5.0 sを公式に代入すると、位置xは、
xx0vt=20 m+(-2.5 m/s)×5.0 s=7.5 m

 

ですから、t=5.0 sにおける位置は7.5 mですね。

 

<グラフを使う>

xtグラフをざっくりと描いてみましょう。
速度が-2.5 m/sと負の値なので、グラフの傾きは-2.5の右下がりの直線になりますね。
t=0 sでの位置x0は20 mであることも分かっています。

 

xtグラフはこんな感じになりますよ。
必要だ!と思った情報は、グラフの中に書きこんじゃってくださいね。

 

図13 例題2の物体のxtグラフ

 

このグラフから、t=0 sからt=5.0 sまでの変位Δxxx0であることが見えましたね。
つまり、Δxが分かれば、t=5.0 sでの位置xが求められるわけです。

 

速度v=(変位Δx)÷(時間Δt)の関係から、Δxv×Δtなので、
Δx=(-2.5 m/s)×(5.0 s-0 s)=-12.5 m
xx0Δx=20 m+(-12.5 m)=7.5 m

 

t=5.0 sにおける位置は7.5 mですね。

 

グラフを描くと、運動の全体像がよく見えますよ。
一手間かかって面倒だなあ、と思いがちですが、やってみてくださいね。

 

「公式が出てきたから、丸暗記して使って解かなくちゃ」
と思うことはないんですよ。

 

公式も大事だけどグラフも描こう!

今の時点では、公式を丸暗記すると問題はサクッと解けます。
でも、これからもたーくさん公式が出てきますよね。
山のようにある公式をぜーんぶ覚えますか?

 

公式の丸暗記⇒多すぎて頭がごちゃ混ぜになる⇒問題が解けない
これが、悲しき「物理キライ!の法則」なんです・・・。

 

じゃあ、物理が得意な人、好きな人って何を考えていると思いますか?
え?ただの変人なんでしょーって?
そんなことないですよー。

 

例えば、私は公式を丸暗記したことがほとんどありません。
やみくもに式や単語を暗記するのは、苦手なんですよ。
でも、問題文のデータや式からグラフを描いて読み取り、運動のイメージを理解すれば、問題はバンバン解けます。

 

物理は実際の現象を解き明かす学問でしたね。
なので、物理で大切なのは、計算よりもグラフや式で表された運動をイメージできることです。
データからグラフが描けること、そのグラフが読めることは重要なスキルになりますよ。
そこから、数学の力を借りて、そこに隠れた法則を表す公式を導き出すわけです。

 

等速直線運動の公式だって、グラフから導かれていますよね。
こういうシンプルな運動の問題から、グラフを描いて考えるクセをつけておきましょうよ。

 

とにかく描いて慣れる!
そうすれば、難しい問題も楽に解けますし、考えることの面白さが分かってきますよ。

 

本質的なことほど、遠回りに見えたり慣れるまで面倒くさいものですね。
しかーし!本質が分かれば応用は無限ですよー!

 

それでは、チェックテストで理解を深めましょう!

 

等速直線運動のグラフ理解度チェックテスト

【問1】
下のグラフは、x軸上を運動する物体の位置x [m]と時刻t [s]の関係を表したものである。
(1)物体の速度は何m/sか。
(2)縦軸を速度v [m/s]、横軸を時刻t [s]として、0 s≦t≦5.0 sのvtグラフを描け。
(3)0 s≦t≦5.0 sに物体が移動した距離を、(2)で描いたvtグラフから求めよ。

解答・解説を見る
【解答】
(1)-0.80 m/s(x軸上負の向きに0.80 m/s)

(2)

 

【解説】
0≦t≦5.0の間はグラフの傾きが一定なので、等速直線運動である。
また、tが増えるほどxの値が減って右肩下がりになるので、速度v<0であることも分かる。
答えが有効数字2桁であることにも注意する。

(1)速度v=(変位Δx)÷(時間Δt)の公式を使って求める。
t=0 sでx=1.0 m、t=5.0 sでx=-3.0 mなので、
速度v=\(\frac{-3.0 m-1.0 m}{5.0 s-0 s}\)=-0.80 m/s

 

(2)等速直線運動なので、速度が-0.80 m/sで一定の単純なvtグラフになる。

 

(3)t=0からの変位の絶対値がそのまま移動距離になる。
t=0からの変位の絶対値は、vtグラフと横軸で囲まれた面積にあたる。
|-0.80×5.0|=4.0 m
xtグラフから読み取れる移動距離とも合っている。

 

まとめ

今回は、等速直線運動のグラフと公式についてお話しました。

 

等速直線運動のxtグラフは、

  • 速度v>0の場合は右上がりの直線、速度v<0の場合は右下がりの直線になる
  • xx0vt(原点を通る場合はx0=0)で表される

 

等速直線運動のvtグラフは、

  • v=一定なので、横軸に平行な直線になる
  • vtグラフと横軸で囲まれた面積=v×tx0からの変位

 

問題を解くポイントは、

  • xtグラフやvtグラフから運動のイメージを理解する

 

「やっぱりグラフは難しいな」「グラフは意外と便利だな」
人によって色々な感想があるんじゃないでしょうか。

 

問題が複雑になるほど、グラフのありがたみが分かってきますよ。
今のうちに、慣れておきましょうね。

 

次回は、速度の合成についてお話しますね。
こちらへどうぞ。

 

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