平均の速度と瞬間の速度の違い!速度がわかるx-tグラフ!

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速度』とは、「単位時間あたりの変位を表したもので、速度=変位÷かかった時間」でしたね。

 

そして、『速さ』とは、速度の大きさです。
(速さと速度について、詳しくはこちら)

 

今なら、こういう問題は、すぐに解けちゃいますよね。
「Aさんは家を8時に出て1000 m離れた学校まで歩き、8時10分に学校に着きました。家から学校に向かう向きを正として、Aさんの歩く速度を求めなさい」

 

Aさんの歩く速度=1000 m÷10 分=100 m/分(メートル毎分)となるわけです。

 

計算は合っていますが・・・、これって現実的なんですかね?
実際に、家から学校までずーっと分速100 mのままで歩けますか?

 

さっき、家からコンビニまで買い物に行ったんですが、
信号でストップしたり、街路樹の花を眺めながらのんびり歩いたり、短い坂を急いで歩いたりしましたよ。
歩く速度は途中で色々と変化するのが自然なんですよね。

 

こんな風に、途中で変わる速度って、考えなくて良いんでしょうか?
何だか現実的じゃないですよね。

 

実は、昔の科学者たちも同じことを考えたのですね。
そして、2種類の『速度(速さ)』が決められました。
それが、『平均の速度(速さ)』と『瞬間の速度(速さ)』なんですよ。

 

平均の速度と瞬間の速度

さっきはAさんが歩く速度について考えましたが、自転車や自動車、電車に乗ったときも同じですね。

 

はじめはゆっくり走り出し、ある場所ではストップしたりある区間では最高速度になったりと、動いたり止まったりを繰り返して、目的地に到着します。

 

例として、Aさんの話に戻りますよ。

 

さっきの計算では、途中での速度の変化を考えていませんでしたね。
単に「目的地までの変位」と「かかった時間」から速度を計算しました。

 

つまり、Aさんが「出発地から目的地まで一定の速度で歩いたとしたら分速100 m」というわけですね。

 

このように、「一定の速度だとしたら」と仮定して計算した速度を、『平均の速度』と言います。
これが、物理での「平均」という考え方ですよ。

 

ですが、分速100 mと言っても、実際に1分ごとに100 mずつ動いてはいませんね。
物理では、実際に起こっている現象を読み解いていきます。

 

なので、「一定の速度だとしたら」という仮定よりも、「実際の速度はどう変化したのか」が大事になるわけですね。

 

ですから、「8時1分での速度」「8時5分での速度」のように、「ある時刻での速度」が重要になってきます。
この「ある時刻での速度」を『瞬間の速度』と言いますよ。

 

それぞれの速度の求め方について、まとめておきますね。

 

平均の速度

平均の速度』は、途中で動いたり止まったり、道が直線ではなくクネクネ曲がっていても関係ありませんよ。
「出発地点から目的地点までの変位」と「かかった時間」が分かれば計算できます。

 

出発地点の位置をx1、出発時刻をt1、目的地点の位置をx2、目的地への到着時刻をt2としましょう。

 

出発地から目的地までの距離(変位)Δxx2x1、かかった時間Δtt2t1ですね。
(Δ(デルタ)は差分や変化量を表すギリシャ文字)

 

そうすると、平均の速度\(\bar{v}\)=\(\frac{変位}{時間}\)と、普通の速度の公式と同じように計算できますよ。
速度はv(速度を表す”velocity”の頭文字)と表しますが、平均の速度はvの上にバー(横棒)をつけて\(\bar{v}\)と表します。

 

\(\bar{v}\)=\(\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{{t}_{2}-{t}_{1}}\)\(\frac{\it{\Delta} x}{\it{\Delta} t}\)

 

図1 平均の速度

 

では、『瞬間の速度』はどのように求めるのでしょう?

 

瞬間の速度

先ほど、『瞬間の速度』は「ある時刻での速度」と言いましたね。
つまり、ほんの一瞬の速度を求める、ということなんですよ。

 

図2 瞬間の速度

 

平均の速度\(\bar{v}\)=\(\frac{変位}{時間}\)でしたが、この時間の間隔を短くとれば、瞬間の速度になるんです。

 

例えば、「8時1分0秒」と「8時1分1秒」の間の変位を使って、8時1分の瞬間の速度を計算するイメージですね。

 

この時間の間隔を1秒、0.1秒、0.01秒、0.001秒・・・と限りなく0に近づけるほど、正確な瞬間の速度になりますよ。
時間間隔が短いほど、速度が変化する余裕がないですからね。

 

物理学的に言うと、瞬間の速度vは、

 

v\(\frac{\it{\Delta} x}{\it{\Delta} t}\)

 

Δtをものすごーく小さくして、そのときのΔxを使うと求められますよ。

 

Δtをものすごーく小さくって、どうやって瞬間の速度を求めるのか分からないんですけど?」

 

実は、平均の速度も瞬間の速度も、xtグラフから計算できるんです!

 

xtグラフから速度がわかる

xtグラフって何ですか?何だか難しそう・・・」

 

いえいえ、難しくありませんよ。
物体の運動を考えるときに、とっても便利なグラフです。

 

xtグラフは、ある時刻tでの位置xを表したグラフで、xを縦軸にtを横軸にとりますよ。
物理で〇-△グラフと言われたら、〇は縦軸で△は横軸なので、覚えておいてくださいね。

 

図3 xtグラフ(縦軸がx、横軸がtのグラフ)

 

例えば、ある自動車がA地点からB地点まで移動したときのxtグラフがこんな感じだったとしますよ。

 

図4 自動車がA地点からB地点まで移動したときのxtグラフ

 

A地点からB地点までの平均の速度\(\bar{v}\)は、

\(\bar{v}\)=(AからBまでの変位Δx)÷(かかった時間Δt)=(8.0 m-2.0m)÷(4.0 s-1.0 s)=2.0 m/s(メートル毎秒)

となりますね。

 

(変位Δx)÷(時間Δt)はAーB間を結ぶ直線の傾きですから、A-B間の平均の速度\(\bar{v}\)はA-B間を結ぶ直線の傾きというわけです。

 

図5 A-B間を結ぶ直線の傾き

 

次に、A地点での瞬間の速度をxtグラフを使って求めてみましょう。

 

瞬間を求めるためには、A-B間の時間の間隔を短くすればいいですね。
なので、グラフに沿ってB点をA点に近づけていきますよ。

 

図6 B点をA点に近づけた時の直線の傾きの変化

 

B点が動くと、A-B間を結ぶ直線も動いて、速度を表す傾きがどんどん変わります。
B点がA点にほぼ重なると、AーB間を結ぶ直線はA点を通る接線になりましたね。

 

つまり、A点での瞬間の速度vはA点でのxtグラフの接線の傾きというわけです。

 

この接線が通る(t, x)が、(1.0 s, 2.0 m)と(3.0 s, 4.6 m)だったとしますよ。

 

図7 A点を通る接線

 

すると、A点での瞬間の速度vにあたる、A点での接線の傾きは、

v=(4.6 m-2.0 m)÷(3.0 s-1.0 s)=1.3 m/s

と計算できるわけですね。

 

平均の速度』と『瞬間の速度』の違いや、それぞれの求め方は分かりましたか?

 

理解を深めるために、チェックテストにチャレンジしましょう!

 

平均の速度と瞬間の速度理解度チェックテスト

【問1】
軸上を正の向きに移動する物体aとbのxtグラフを下に示した。
また、グラフ上の赤線は、物体bにおけるA点での接線である。
次の問いに答えよ。

(1)物体aについて、20秒から30秒までの平均の速度を求めよ。
(2)物体bについて、A点(20秒)での瞬間の速度を求めよ。
(3)瞬間の速度が0になることがあるのは、物体aとbのどちらか。それは何秒のときか。

 

解答・解説を見る
【解答】
(1)x軸負の向きに1.0 m/s (2)x軸正の向きに2.0 m/s (3)物体aで20秒のところ

【解説】
(1)物体aの20秒から30秒までの変位はΔx=30 m-40 mで、この間の時間はΔt=30 s-20 sとなる。
平均の速度\(\bar{v}\)=\(\rm\frac{変位}{時間}\)=\(\rm\frac{30 m-40 m}{30 s-20 s}\)=ー1.0 m/s
値が負なので、x軸負の向きに1.0 m/sとなる。

 

(2)物体bにおけるA点での瞬間の速度は、A点での接線の傾きを計算する。
接線は(20, 30)と(10, 10)を通るので、
瞬間の速度v=\(\rm\frac{30 m-10 m}{20 s-10 s}\)=2.0 m/s
値が負なので、x軸正の向きに2.0 m/sとなる。

 

(3)瞬間の速度はxtグラフの接線の傾きなので、接線の傾きが0になる時刻を探せば良い。
接線の傾きが0になるのは物体aの20秒のところである。

 

まとめ

今回は、平均の速度と瞬間の速度についてお話しました。

 

平均の速度とは、

  • \(\bar{v}\)=(2地点間の変位Δx)÷(かかった時間Δt)で求められる
  • xtグラフでは2点間を結ぶ直線の傾き

 

瞬間の速度とは、

  • v=(変位Δx)÷(時間Δt)のΔtを限りなく0に近づけると求められる
  • xtグラフではある時刻tでの接線の傾き

 

通常、物理で速度と言うと、『瞬間の速度』を意味しますよ。
瞬間の速度を求めたり、物体の運動を理解するためには、xtグラフはとても便利です。

 

「グラフって難しそうで嫌だなあ」と思うかもしれませんね。
でも、慣れれば色々な情報がすぐに読み取れるようになりますよ。

 

次回は、等速直線運動についてお話しますね。
こちらへどうぞ。

 

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